Transformée en Z#

Définition#

La transformée en Z unilatérale d’une suite numérique \(x[n]\) est définie par l’équation :

\[X(z)= \mathcal{Z}[x[n]] = \sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n}\]

où \(z\) est une variable complexe.

La transformée de Z d’un signal ne converge pas nécessairement pour tout \(z\). Il est alors nécessaire de préciser la région de convergence (ROC) pour laquelle la série converge c-a-d les valeurs de \(z\) telles que \(|X(z)|<\infty\).

Exemple#

Soit \(x[n]=u[n]\), l’échelon unité défini par :

\[\begin{split}u[n] =\left\{\begin{array}{cl} 1 & \text{ si }n\ge 0\\ 0&\text{ ailleurs}\\ \end{array}\right.\end{split}\]

La transformée en Z de \(x[n]=u[n]\) est égale à :

\[\begin{split}X(z)&= \sum_{n=0}^{\infty}u[n]z^{-n}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}z^{-n}\\ &=\frac{1}{1-z^{-1}}\\ &=\frac{z}{z-1}\end{split}\]

où le passage de la deuxième à la troisième ligne s’obtient en remarquant le fait \(\sum_{n=0}^{\infty}z^{-n}\) correspond à la somme des éléments d’une suite géométrique de raison \(z^{-1}\). La region de convergence est donnée par \(|z|>1\).

Propriétés#

La transformée en Z possède les propriétés suivantes :

  • Linéarité: Si \(y[n]=\alpha x_1[n]+\beta x_2[n]\) où \(\alpha\) et \(\beta\) sont des constantes, alors

\[Y(z)=\alpha X_1(z)+\beta X_2(z)\]

  • Décalage temporel: Si \(y[n]=x[n-k]\) (\(k \in \mathbb{N}^{+}\)), alors

\[Y(z)=X(z)z^{-k}\]

  • Multiplication par une fonction exponentielle: Si \(y[n]= a^n x[n]\), alors

\[Y(z)=X(a^{-1}z)\]

  • Convolution: Si \(y[n]= h[n]*x[n]\), alors

\[Y(z)=H(z)X(z)\]

  • Théorème de la valeur initiale: Si la limite \(\lim_{z\to \infty}X(z)\) existe, alors la valeur initiale s’obtient via l’expression

\[x[0]=\lim_{z\to \infty} X(z)\]

  • Théorème de la valeur finale: Si tous les pôles de \(X(z)\) sont compris dans le cercle unité, alors la valeur finale s’obtient via l’expression

\[\lim_{n\to \infty} x[n]=\lim_{z\to 1}(z-1)X(z)\]

Signaux Usuels#

Impulsion unité#

  • Définition :

\[\begin{split}x[n] = \delta[n]=\left\{\begin{array}{cc} 1,&n=0\\ 0,&n\ne 0 \end{array}\right.\end{split}\]

  • Transformée en Z :

\[X(z) = 1\]

Echelon unité#

  • Définition :

\[\begin{split}x[n] = u[n]=\left\{\begin{array}{cc} 1,&n\ge 0\\ 0,&n\ne 0 \end{array}\right.\end{split}\]

  • Transformée en Z :

\[X(z) = \frac{z}{z-1}\]

Rampe unité#

  • Définition :

\[\begin{split}x[n] = r[n]=\left\{\begin{array}{cc} nT_e,&n\ge 0\\ 0,&n\ne 0 \end{array}\right.\end{split}\]

  • Transformée en Z :

\[X(z) = \frac{zT_e}{(z-1)^2}\]