Transformée de Laplace#
Définition#
La transformée de Laplace unilatérale d’un signal est donnée par
\[X(p) = \mathcal{L}[x(t)]=\int_{0}^{\infty} x(t)e^{-pt}dt\]
Exemple#
Soit \(x(t)=u(t)\), l’échelon unité défini par :
\[\begin{split}u(t) =\left\{\begin{array}{cl} 1 & \text{ si }t\ge 0\\
0&\text{ ailleurs}\\
\end{array}\right.\end{split}\]
La transformée de Laplace de :math: u(t) est alors égale à :
\[U(p) = \mathcal{L}[u(t)]=\int_{0}^{\infty} e^{-pt}dt\]
Cette intégrale est une intégrale impropre au sens de Riemann. Cette intégrale est divergente pour \(p \le 0\) et est convergente pour \(p > 0\). La transformée de Laplace n’est définie que pour \(p > 0\). Dans ce cas, nous obtenons
\[U(p) = \frac{1}{p}.\]
Propriétés#
La transformée de Laplace possède les propriétés suivantes:
Linéarité :
\[\mathcal{L}\left[\alpha_1 x_1(t)+\alpha_2 x_2(t)\right]=\alpha_1 X_1(p)+\alpha_2 X_2(p)\]
Dérivation :
\[\mathcal{L}\left[\frac{dx(t)}{dt}\right]=pX(p)-x(0^-)\]
Théorème de la Valeur Initiale :
\[x(0^+)=\lim_{p\to \infty} p X(p)\]
Théorème de la Valeur Finale :
\[x(\infty)=\lim_{p\to 0} p X(p)\]
Signaux Usuels#
Impulsion de Dirac#
Définition :
\[\begin{split}x(t) = \delta(t)=\left\{\begin{array}{cc}
\infty,&t=0\\
0,&t\ne 0
\end{array}\right.~\text{s.t.}\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)dt = 1\end{split}\]
Transformée de Laplace :
\[X(p) = 1\]
Echelon Unitaire#
Définition :
\[\begin{split}u(t)=\left\{\begin{array}{cc}
1,&t\ge 0\\
0,&t< 0
\end{array}\right.\end{split}\]
Transformée de Laplace :
\[U(p) = \frac{1}{p}\]
Exponentielle Décroissante#
Définition :
\[x(t)=e^{-\alpha t}u(t)\]
Transformée de Laplace :
\[X(p) = \frac{1}{p+\alpha}\]
Sinusoide Amortie (Part 1)#
Définition :
\[x(t)=e^{-\alpha t}\sin(\omega t) u(t)\]
Transformée de Laplace :
\[X(p) = \frac{\omega}{(p+\alpha)^2+\omega^2}\]
Sinusoide Amortie (Part 2)#
Définition :
\[x(t)=e^{-\alpha t}\cos(\omega t) u(t)\]
Transformée de Laplace :
\[X(p) = \frac{p+\alpha}{(p+\alpha)^2+\omega^2}\]