Systèmes SLIT#

Equation de récurrence#

Dans ce cours, nous nous intéressons spécifiquement à l’analyse des SLITs modélisables par une équation de récurrence.

Expression#

Lorsqu’un système est modélisable par une équation de récurrence, le lien entre l’entrée \(e[n]\) et la sortie \(s[n]\) est donné par :

\[a_L s[n+L] + \cdots + a_0 s[n] = b_K e[n+K] + \cdots + b_0 e[n]\]

Lorsque le système est causal, \(K<L\). Sous l’hypothèse de causalité, l’équation de récurrence peut également s’exprimer sous la forme

\[\begin{split}a_L s[n] &= b_K e[n+K-L] + \cdots + b_0 e[n-L]\\ &~-a_{L-1} s[n-1] - \cdots - a_0 s[n-L]\end{split}\]

Fonction de transfert#

Lorsque les conditions initiales sont nulles, la transformée en Z de la sortie s’exprime sous la forme \(S(z)=H(z)E(z)\)\(H(z)\) correspond à la fonction de transfert en Z du système.

schema bloc

Schéma Bloc#

Forme polynomiale#

Pour un système régit par une équation de récurrence, la fonction de transfert du système est donnée par :

\[H(z)=\frac{S(z)}{E(z)}=\frac{b_K z^{K} + \cdots + b_1 z + b_0}{a_L z^{L}+ \cdots + a_1z+ a_0}\]

Forme Factorisée#

Pour mettre en évidence les points singuliers de la fonction de transfert, il est possible de réexprimer la fonction de transfert sous une forme factorisée.

\[H(z)=G\frac{(z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_K)}{(z-p_1)(z-p_2)\cdots(z-p_L)}\]
  • les \(z_k\) correspondent aux zéros de la fonction de transfert,

  • les \(p_l\) correspondent aux poles de la fonction de transfert).

  • \(G=\frac{b_K}{a_L}\) est un facteur d’amplification.

Propriétés#

  • Stabilité: Pour qu’un système à temps discret soit stable, il faut que tous les pôles de sa fonction de transfert sont inclus dans le cercle de rayon unité c-a-d si \(|p_l|\le 1`\)

  • Valeur Initiale :

\[s[0]=\lim_{z\to \infty}H(z)E(z)\]
  • Valeur Finale : Si la sortie converge,

\[s(\infty)=\lim_{z\to 1}(z-1)H(z)E(z)\]

Réponse Temporelle#

Pour obtenir la réponse temporelle d’un système à une entrée \(e[n]\), deux solutions sont possibles.

Technique 1 (Décomposition en éléments simples)#

  1. Calcul de la transformée en Z de la sortie du système c-à-d \(S(z) = H(z)E(z)\)\(E(z)\) correspond à la transformée en Z de l’entrée.

  2. Décomposition en éléments simples de la sortie \(S(z)/z\), puis de \(S(z)\).

  3. Retour à l’original en appliquant la transformée en Z inverse (utilisation des tables des transformées en Z).

Technique 2 (Equation de récurrence)#

  1. Obtention de l’équation de récurrence donnant \(s[n]\) en fonction de \(s[l]~(l<n)\) et \(e[k]~(k\le n)\)

  2. Evaluation de la sortie \(s[n]\) en remplaçant les \(e[k]\) par leur valeur numérique.

Exemple#

Considérons un système de premier ordre défini par la fonction de transfert

\[H(z) = \frac{S(z)}{E(z)} = \frac{1}{z-0.5}\]

Les paragraphes suivants montrent comment obtenir la réponse indicielle à un échelon d’amplitude \(E\) du système en utilisant les deux techniques possibles.

Technique 1

  1. Transformée en Z de la sortie :

\[S(z) = \frac{1}{z-0.5}E(z) = \frac{z}{(z-0.5)(z-1)}E\]
  1. Décomposition en éléments simples :

\[\frac{S(z)}{z} = -\frac{2}{z-0.5}E + \frac{2}{z-1}E \Rightarrow S(z) = -\frac{2z}{z-0.5}E+ \frac{2z}{z-1}E\]
  1. Retour à l’original :

\[\begin{split}s[n] &= -2(0.5)^n Eu[n] + 2E u[n]\\ &= 2 (1-(0.5)^n)E u[n]\end{split}\]

A titre d’exemple pour \(E=1\), les premiers échantillons en sortie sont :

\[\begin{split}s[0] &= 0\\ s[1] &= 2 (1-0.5)=1\\ s[2] &= 2 (1-0.25)=1.5\\ s[3] &= 2 (1-0.125)=1.75\end{split}\]

Technique 2

  1. Equation de récurrence :

\[\begin{split}S(z)(z-0.5) &= E(z)\\ S(z) &=z^{-1} E(z) +0.5z^{-1}S(z)\end{split}\]

Nous obtenons alors :

\[s[n] =e[n-1] + 0.5s[n-1]\]
  1. Evaluation de la sortie \(s[n]\) :

\[s[n] = Eu[n-1] + 0.5s[n-1]\]

A titre d’exemple pour \(E=1\), les premiers échantillons en sortie sont :

\[\begin{split}s[0] &= u[-1] + 0.5s[-1] = 0\\ s[1] &= u[0] + 0.5s[0] = 1\\ s[2] &= u[1] + 0.5s[1] = 1.5\\ s[3] &= u[2] + 0.5s[2] = 1.75\end{split}\]

Réponse Fréquentielle#

Expression#

Il est possible de montrer que si \(e[n]=e^{j\omega nT_e}\), la sortie s’exprime sous la forme \(s[n]=H\left(e^{j\omega T_e}\right)e^{j\omega nT_e}\)\(H\left(e^{j\omega T_e}\right)\) désigne la réponse fréquentielle du système. Notons que la réponse fréquentielle peut s’obtenir directement à partir de la fonction de transfert en posant :

\[z = e^{j\omega T_e}\]

Compte tenu des propriétés de périodicité et de symétrie, la réponse fréquentielle est le plus souvent déterminée pour \(0 \le \omega \le \omega_e/2\)\(\omega_e=2\pi F_e\) désigne la pulsation d’échantillonnage.

Représentation#

Comme la réponse fréquentielle est généralement complexe, nous représentons le plus souvent :

  • son module \(|H\left(e^{j\omega T_e}\right)|\),

  • son argument \(\arg[H\left(e^{j\omega T_e}\right)]\).