Systèmes SLIT#
Equation de récurrence#
Dans ce cours, nous nous intéressons spécifiquement à l’analyse des SLITs modélisables par une équation de récurrence.
Expression#
Lorsqu’un système est modélisable par une équation de récurrence, le lien entre l’entrée \(e[n]\) et la sortie \(s[n]\) est donné par :
Lorsque le système est causal, \(K<L\). Sous l’hypothèse de causalité, l’équation de récurrence peut également s’exprimer sous la forme
Fonction de transfert#
Lorsque les conditions initiales sont nulles, la transformée en Z de la sortie s’exprime sous la forme \(S(z)=H(z)E(z)\) où \(H(z)\) correspond à la fonction de transfert en Z du système.
Forme polynomiale#
Pour un système régit par une équation de récurrence, la fonction de transfert du système est donnée par :
Forme Factorisée#
Pour mettre en évidence les points singuliers de la fonction de transfert, il est possible de réexprimer la fonction de transfert sous une forme factorisée.
les \(z_k\) correspondent aux zéros de la fonction de transfert,
les \(p_l\) correspondent aux poles de la fonction de transfert).
\(G=\frac{b_K}{a_L}\) est un facteur d’amplification.
Propriétés#
Stabilité: Pour qu’un système à temps discret soit stable, il faut que tous les pôles de sa fonction de transfert sont inclus dans le cercle de rayon unité c-a-d si \(|p_l|\le 1`\)
Valeur Initiale :
Valeur Finale : Si la sortie converge,
Réponse Temporelle#
Pour obtenir la réponse temporelle d’un système à une entrée \(e[n]\), deux solutions sont possibles.
Technique 1 (Décomposition en éléments simples)#
Calcul de la transformée en Z de la sortie du système c-à-d \(S(z) = H(z)E(z)\) où \(E(z)\) correspond à la transformée en Z de l’entrée.
Décomposition en éléments simples de la sortie \(S(z)/z\), puis de \(S(z)\).
Retour à l’original en appliquant la transformée en Z inverse (utilisation des tables des transformées en Z).
Technique 2 (Equation de récurrence)#
Obtention de l’équation de récurrence donnant \(s[n]\) en fonction de \(s[l]~(l<n)\) et \(e[k]~(k\le n)\)
Evaluation de la sortie \(s[n]\) en remplaçant les \(e[k]\) par leur valeur numérique.
Exemple#
Considérons un système de premier ordre défini par la fonction de transfert
Les paragraphes suivants montrent comment obtenir la réponse indicielle à un échelon d’amplitude \(E\) du système en utilisant les deux techniques possibles.
Technique 1
Transformée en Z de la sortie :
Décomposition en éléments simples :
Retour à l’original :
A titre d’exemple pour \(E=1\), les premiers échantillons en sortie sont :
Technique 2
Equation de récurrence :
Nous obtenons alors :
Evaluation de la sortie \(s[n]\) :
A titre d’exemple pour \(E=1\), les premiers échantillons en sortie sont :
Réponse Fréquentielle#
Expression#
Il est possible de montrer que si \(e[n]=e^{j\omega nT_e}\), la sortie s’exprime sous la forme \(s[n]=H\left(e^{j\omega T_e}\right)e^{j\omega nT_e}\) où \(H\left(e^{j\omega T_e}\right)\) désigne la réponse fréquentielle du système. Notons que la réponse fréquentielle peut s’obtenir directement à partir de la fonction de transfert en posant :
Compte tenu des propriétés de périodicité et de symétrie, la réponse fréquentielle est le plus souvent déterminée pour \(0 \le \omega \le \omega_e/2\) où \(\omega_e=2\pi F_e\) désigne la pulsation d’échantillonnage.
Représentation#
Comme la réponse fréquentielle est généralement complexe, nous représentons le plus souvent :
son module \(|H\left(e^{j\omega T_e}\right)|\),
son argument \(\arg[H\left(e^{j\omega T_e}\right)]\).