Systèmes de 1er ordre#

Modélisation#

Equation Différentielle#

Un système LTI peut être décrit par une équation différentielle de liant l’entrée \(e(t)\) et la sortie \(s(t)\). Pour les systèmes passe-bas d’ordre 1, cette équation différentielle est donnée par:

\[\tau \frac{d s(t)}{dt} + s(t)= Ke(t)\]

  • \(K\) : gain statique,

  • \(\tau\) : constante de temps (s).

Fonction de Transfert#

Pour faciliter l’analyse des systèmes LTI, il est courant de recourir à la notion de fonction de transfert. En utilisant les propriétés de la transformée de Laplace, il est possible d’établir que la fonction de transfert d’un système LP d’ordre 1 est donnée par:

\[H(p)=\frac{S(p)}{E(p)}=\frac{K}{\tau p +1}\]

Cette fonction de transfert possède:

  • un unique pôle négatif en \(p=-\frac{1}{\tau}\),

  • aucun zéro.

Réponse indicielle#

La réponse indicielle correspond à la réponse du système lorsque l’entrée est un échelon c-à-d

\[\begin{split}e(t)=Eu(t)=\left\{\begin{array}{cl} E &\text{ si }t\ge 0\\ 0&\text{ sinon}\\ \end{array}\right.\end{split}\]

Pour le cas d’un système LP d’ordre 1, la réponse indicielle est donnée par :

\[s(t)=KE\left(1-e^{-\frac{1}{\tau}t}\right)u(t)\]

Exemple#

La figure suivante présente l’allure de la réponse indicielle à un échelon d’amplitude :math:E. Cette réponse suit une exponentielle croissante et se stabilise vers une valeur finie.

../../_images/first_order-1.png

Propriétés#

  • Valeur initiale : \(s(0)=0\),

  • Valeur finale : \(s(\infty)=KE\),

  • Temps de réponse à \(\pm 5\%\) : \(s(t_r)=0.95s(\infty)\) avec \(t_r\approx 3\tau\) s,

  • Pas de dépassement : \(s(\infty)=\max(s(t))=KE\).

Identification#

L’identification graphique des paramètres peut s’obtenir de la manière suivante:

  • Gain statique: le gain statique s’obtient à partir de la valeur finale via la relation \(K = s(\infty)/E\).

  • Constante de temps: la constante de temps peut s’obtenir à partir du temps de réponse via la relation \(t_r = 3\tau\).

Réponse Fréquentielle#

La réponse fréquentielle s’obtient en posant \(p=j\omega\) où \(\omega\) désigne la pulsation (en rad/s). La réponse fréquentielle d’un système LP de premier ordre est donnée par :

\[H(j\omega)=\frac{K}{1+j\omega \tau}\]

La réponse fréquentielle est une fonction \(\mathbb{R} \to \mathbb{C}\). Pour représenter cette réponse, il est courant de recourir à la représentation du module et de l’argument en fonction de \(\omega\).

Module#

../../_images/first_order-2.png

Le module s’exprime sous la forme

\[|H(j\omega)|=\frac{|K|}{\sqrt{1+(\omega\tau)^2}}\]

  • Amplification basse-fréquence : \(\lim_{\omega\to 0}|H(j\omega)|=|K|\),

  • Amplification haute-fréquence : \(\lim_{\omega\to \infty}|H(j\omega)|=0\).

  • Pulsation de coupure à -3dB : \(|H(j\omega_c)|=|K|/\sqrt{2}\) pour \(\omega_c=\frac{1}{\tau}\) rad/s.

  • Comportement asymptotique : Pour \(\omega \gg \omega_c\), \(|H(j\omega)|\approx K \left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)^{-1}\) (pente de -1)

Argument#

../../_images/first_order-3.png

Pour \(K>0\), l’argument s’exprime sous la forme :

\[\arg[H(j\omega)]=-\arctan(\omega\tau)\]

Nous obtenons alors les propriétés suivantes :

  • Déphasage basse-fréquences : \(\lim_{\omega\to 0}\arg[H(j\omega)]=0\),

  • Déphasage haute-fréquences : \(\lim_{\omega\to \infty}\arg[H(j\omega)]=-90^o\).

  • Déphasage à la pulsation de coupure à -3dB : \(\arg[H(j\omega_c)]=-45^o\).

Identification#

L’identification graphique des paramètres s’obtient de la manière suivante:

  • Gain statique: le gain statique correspond à la valeur du module en basse-fréquence. Si le module est affiché en dB, la valeur du module s’obtient via l’expression \(K = 10^{G_0/20}\). Attention à bien vérifier que la phase évolue de \(0\) à \(-90^o\). Si ca n’est pas le cas, le gain est négatif.

  • Constante de temps: la constante de temps s’obtient à partir de la lecture de la pulsation de coupure via l’expression \(\omega_c = 1/\tau\).