Rappels sur les Equations Differentielles#

Modèle Mathématique#

Une équation différentielle linéaire à coefficients constants d’ordre n s’exprime sous la forme

\[a_n \frac{d^n s(t)}{dt^n} + \cdots+a_1 \frac{d s(t)}{dt} +a_0 s(t) =b_m \frac{d^m e(t)}{dt^m} +\cdots+b_0 e(t)\]

  • \(a_n\) et \(b_m\) désigne les paramètres de l’équation différentielle,

  • La partie droite de l’équation est appelée second membre.

Expression de la Solution#

La solution complète de l’équation différentielle s’exprime sous la forme :

\[s(t)=s_l(t)+s_p(t)\]

  • \(s_l(t)\): solution libre (régime libre),

  • \(s_p(t)\): solution particulière (régime forcé).

Solution libre#

Le terme \(s_l(t)\) désigne la solution libre de l’équation sans second membre définie par :

\[a_n \frac{d^n s(t)}{dt^n} + \cdots+a_1 \frac{d s(t)}{dt} +a_0 s(t) =0\]

La solution libre s’exprime sous la forme

\[s_l(t)=\sum_{k=1}^{n}\lambda_k e^{p_kt}\]

  • \(\lambda_k\in \mathbb{C}\) désigne des constantes d’intégration. Ces constantes peuvent être déterminées à partir de la connaissance des conditions initiales de l’équation différentielle.

  • \(p_k \in \mathbb{C}\) désigne les racines du polynôme caractéristique \(a_n p^n+a_{n-1}p^{n-1}+\cdots+a_1 p+a_0\). Ces racines correspondent aux pôles du système.

  • Lorsque qu’un pôle (ou plus) possède une partie réelle positive, la solution libre diverge. Dans ce cas, le système est instable.

Solution particulière#

Le terme \(s_p(t)\) désigne une solution particulière de l’équation avec second membre. Il n’y a pas d’expression générale permettant de déterminer \(s_p(t)\) quelque soit \(e(t)\). Pour des entrées simples (polynômes, exponentiels, …), il est possible d’utiliser la méthode des coefficients indéterminés. Cette méthode exploite le fait que la solution particulière possède la même “forme” que \(e(t)\).

Par exemple,

  • Si \(e(t)=\alpha\) est une constante, \(s_p(t)=\beta\) est un coefficient constant,

  • Si \(e(t)\) est un polynôme de degré \(Q\), \(s_p(t)\) est un polynôme de degré \(Q\) (avec des coefficients différents),

  • Si \(e(t)\) est une sinusoïde de pulsation \(\omega\), \(s_p(t)\) est une sinusoïde de pulsation \(\omega\) (avec une amplitude et une phase différentes).

Les coefficients de la solution particulière s’obtiennent par identification en remplaçant \(s(t)\) par \(s_p(t)\) dans l’équation différentielle.

Exemple#

Considérons l’équation différentielle suivante de premier ordre

\[\tau \frac{d s(t)}{dt} + s(t)= Ku(t)\]

où \(u(t)\) désigne l’échelon unité (\(u(t)=0\) si \(t<0\) et \(u(t)=1\) si \(t\ge 0\)) et \(s(0)=0\).

La solution complète s’exprime sous la forme :

\[s(t)=s_l(t)+s_p(t)\]

  • Solution libre: \(s_l(t)=\lambda_1 e^{p_1t}\) avec \(\tau p_1+1=0 \Rightarrow p_1=-\frac{1}{\tau}\).

  • Solution particulière [méthode des coefficients indéterminés]: \(s_p(t)=\beta\). En remplaçant \(s(t)\) par \(s_p(t)\) dans l’équation différentielle, nous trouvons \(\tau \times 0 +\beta = K\times 1 \Rightarrow \beta=K\).

La solution complète s’exprime alors sous la forme :

\[s(t)=\lambda_1 e^{-\frac{1}{\tau} t} + K\]

Pour déterminer la constante d’intégration \(\lambda_1\), il est nécessaire d’exploiter une condition initiale. A titre d’exmple, en imposant la condition initiale \(s(0)=0\), nous obtenons \(\lambda_1 + K = 0 \Rightarrow \lambda_1=-K\). Pour \(t\ge 0\), nous obtenons finalement l’expression :

\[s(t) = K(1-e^{-\frac{1}{\tau}t})\]