Rappels d’Electronique#

Dipôles de Base#

Resistance#

../../_images/resistor.svg

  • Modèle : \(u(t)=Ri(t)\)

  • Impedance généralisée : \(Z_R=R\)

Condensateur#

../../_images/capacitor.svg

  • Modèle : \(i(t)=C\frac{du(t)}{dt}\)

  • Impedance généralisée : \(Z_C=\frac{1}{Cp}\)

Bobine#

../../_images/inductor.svg

  • Modèle : \(u(t)=L\frac{di(t)}{dt}\)

  • Impedance généralisée: \(Z_L=Lp\)

Associations de dipôles#

Mise en série#

../../_images/serie.svg

  • Impedance généralisée équivalente :

\[Z_{eq}=Z_1+Z_2\]

Mise en parallèle#

../../_images/parallel.svg

  • Impedance généralisée équivalente :

\[\frac{1}{Z_{eq}}=\frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2}\]

Pont diviseur#

../../_images/voltage_divider.svg

  • Mise en équation :

\[\frac{V_2(p)}{V_1(p)}=\frac{Z_2}{Z_1+Z_2}\]

Potentiel des noeuds#

../../_images/node.svg

  • Mise en équation :

\[\frac{V_1(p)-V_A(p)}{Z_1}+\frac{V_2(p)-V_A(p)}{Z_2}+\frac{V_3(p)-V_A(p)}{Z_3}=0\]

Exemple#

On considère le circuit suivant :

MFB BP2

Mise en équation#

Soit V la tension aux bornes de \(R_2\). Cette tension représente le potentiel du noeud d’entrée du circuit.

  • Equation 1 (loi des noeuds)

\[\frac{V_e(p) - V(p)}{R_1} + \frac{0-V(p)}{R_2}+\frac{V_s(p) - V(p)}{Z_{C2}}+\frac{V^-(p) - V(p)}{Z_{C1 }} =0\]

  • Equation 2 (loi des noeuds)

\[\frac{V(p) - V_-(p)}{Z_{C1}} + \frac{V_s(p)-V_-(p)}{R_3} =0\]

  • Equation 3 (AOP regime linéaire)

\[V_+(p) = V_-(p)\]

  • Equation 4 (entrée +):

\[V_+(p) = 0\]

Fonction de transfert#

Pour obtenir la fonction de transfert, nous allons déterminer une équation avec que des termes en \(V_e(p)\) d’un côté et que des termes en \(V_s(p)\) de l’autre côté.

En manipulant les 4 équations, nous obtenons :

\[\frac{V_e(p)}{R_1} = -\frac{V_s(p)}{Z_{C2}} +\frac{V(p)}{Z_{C2}}+ \frac{V(p)}{R_2}+ \frac{V(p)}{Z_{C1 }} + \frac{V(p)}{R_1}\]
\[V(p) = -\frac{Z_{C1}}{R_3}V_s(p)\]

Il en vient que

\[\frac{V_e(p)}{R_1} = -V_s(p)\left(\frac{1}{Z_{C2}} -\frac{Z_{C1}}{Z_{C2}R_3} -\frac{Z_{C1}}{R_2R_3}-\frac{1}{R_3} -\frac{Z_{C1}}{R_1R_3}\right)\]

En remplaçant les impédances par leur expressions et en mettant tout sous le même denominateur pour le terme de droite, nous obtenons

\[\frac{V_e(p)}{R_1} = -\frac{V_s(p)}{R_1R_2R_3C_1p} \left( R_1R_2R_3C_1C_2p^2 + R_1R_2C_2p + R_1 + R_1R_2C_1p + R_2\right)\]

Finalement,

\[H(p) = \frac{V_s(p)}{V_e(p)} = -\frac{\frac{R_2R_3}{R_1 + R_2}C_1p}{ \frac{R_1R_2R_3}{R_1 + R_2}C_1C_2p^2 + \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}(C_1+C_2)p + 1}\]