Résumé#

Décomposition en séries de Fourier#

La décomposition en séries de Fourier d’un signal \(T_0\)-périodique \(x(t)\) est donnée par

\[x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{2j\pi \frac{n}{T_0}t}\]

où \(c_n\) désignent les coefficients de la décomposition en série de Fourier et sont donnés par

\[c_n = \frac{1}{T_0}\int_{[T_0]} x(t) e^{-2j\pi \frac{n}{T_0}t}dt\]

\[\frac{1}{T_0}\int_{[T_0]} |x(t)|^2dt = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2\]

La transformée de Fourier d’un signal \(x(t)\) est donnée par

\[X(f) = \mathcal{F}\left[x(t)\right]=\int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-2j\pi ft}dt\]

La transformée de Fourier Inverse est donnée par

\[x(t) = \mathcal{F}^{-1}\left[X(f)\right]=\int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{2j\pi ft}df\]

Linéarité: \(\mathcal{F}\left[\alpha x_1(t)+\beta x_2(t)\right] = \alpha X_1(f)+\beta X_2(f)\)
Dilatation / Compression: \(\mathcal{F}\left[x(\alpha t)\right] = \frac{1}{|\alpha|} X\left( \frac{f}{\alpha} \right)\)
Décalage Temporel: \(\mathcal{F}\left[x(t-\tau)\right] = X(f)e^{-2j\pi f \tau}\)
Convolution : La transformée de Fourier du produit de convolution est égale au produit des transformées de Fourier, c-à-d

\[\mathcal{F}\left[(x*y) (t)\right] = X(f)Y(f)\]

où

\[(x*y) (t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t-\tau) y(\tau) dt\]