Liste des Transformées de Fourier#
Signaux à Energie finie#
Porte rectangulaire#
Définition :
\[\begin{split}x(t)=\Pi(t)=\left\{\begin{array}{cc}
1,&|t|<\frac{1}{2}\\
0,&\text{ailleurs}
\end{array}\right.\end{split}\]
Transformée de Fourier:
\[X(f)=\frac{\sin(\pi f)}{\pi f}=\text{sinc}(\pi f)\]
Porte triangulaire#
Définition :
\[\begin{split}x(t)=\Delta(t)=\left\{\begin{array}{cc}
1-|t|,&|t|\le \frac{1}{2}\\
0,&\text{ailleurs}
\end{array}\right.\end{split}\]
Transformée de Fourier:
\[X(f)=\text{sinc}^2(\pi f)\]
Exponentielle Décroissante (unilaterale)#
Définition :
\[\begin{split}x(t)=\left\{\begin{array}{cc}
0,&t<0\\
e^{-at},&t\ge 0
\end{array}\right.\end{split}\]
Transformée de Fourier:
\[X(f)=\frac{1}{a+2j\pi f}\]
Exponentielle Décroissante (bilaterale)#
Définition :
\[x(t)=e^{-a|t|}\]
Transformée de Fourier:
\[X(f)=\frac{2a}{a^2+(2\pi f)^2}\]
Impulsion de Dirac#
Définition :
\[\begin{split}x(t) = \delta(t)=\left\{\begin{array}{cc}
\infty,&t=0\\
0,&t\ne 0
\end{array}\right.~\text{s.t.}\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)dt = 1\end{split}\]
Propriétés:
\[\begin{split}\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\delta(t-\tau)dt = f(\tau)\\
f(t)*\delta(t) = f(t)\\
f(t)\delta(t) = f(0)\delta(t)\end{split}\]
Transformée de Fourier:
\[X(f)=1\]
Signaux Périodiques#
Sinusoide (part 1)#
Définition :
\[x(t) = \cos(2\pi f_0 t)\]
Transformée de Fourier:
\[X(f)=\frac{1}{2}\left(\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)\right)\]
Sinusoide (part 2)#
Définition :
\[x(t) = \sin(2\pi f_0 t)\]
Transformée de Fourier :
\[X(f)=\frac{1}{2j}\left(\delta(f-f_0)-\delta(f+f_0)\right)\]