Détermination des constantes d’intégration

Introduction

Ce tutorial montre comment déterminer les constantes d’intégration pour la réponse temporelle d’un système de second ordre décrit par une équation différentielle linéaire à coefficients constants. La méthode décrite ici fait intervenir des notions de calculs matriciels et peut s’étendre facilement à des systèmes d’ordres supérieurs.

Expression de la solution

Pour un système d’ordre 2, la réponse temporelle du système s’exprime sous la forme générale suivante :

\[s(t) = \lambda_1 e^{p_1 t} +\lambda_2 e^{p_2 t} + s_p(t)\]

Notre objectif ici est la détermination des constantes d’intégration \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) sous l’hypothèse où les valeurs de \(p_1\), \(p_2\) et \(s_p(t)\) sont connues et que les conditions initiales en \(0^+\) sont données. Pour simplifier nos calculs, nous allons conserver l’expression initiale de \(s(t)\) qui est composée d’une combinaison linéaire de fonctions exponentielles et d’un terme additionnel.

Utilisation des conditions initiales

Cas général

Pour déterminer les deux constantes d’intégrations, nous avons besoin de deux conditions initiales. Dans notre contexte, nous allons exploiter la connaissance de :

\[\begin{split}s(0^+) &= \lim_{t\to 0^+} s(t)\\ \dot{s}(0^+) &= \lim_{t\to 0^+} \frac{ds(t)}{dt}\end{split}\]

En utilisant ces informations, nous pouvons poser que :

\[\begin{split}s(0^+) &= \lambda_1 +\lambda_2 + s_p(0^+)\\ \dot{s}(0^+) &= \lambda_1 p_1 +\lambda_2 p_2 + \dot{s}_p(0^+)\end{split}\]

Pour résoudre ce système linéaire, une approche efficace consiste à modéliser le problème sous forme matricielle :

\[\begin{split}\begin{bmatrix} s(0^+)-s_p(0^+)\\ \dot{s}(0^+)-\dot{s}_p(0^+) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ p_1 & p_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1\\ \lambda_2 \end{bmatrix}\end{split}\]

où \(\textbf{x} \in \mathbb{R}^2\) est un vecteur connus.

Il en vient que :

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \lambda_1\\ \lambda_2 \end{bmatrix} = \frac{1}{p_2-p_1} \begin{bmatrix}p_2 & -1 \\ -p_1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} s(0^+)-s_p(0^+)\\ \dot{s}(0^+)-\dot{s}_p(0^+) \end{bmatrix}\end{split}\]

Cas où \(m<1\)

Notons que lorsque les pôles sont complexes-conjugués, c-à-d \(p_1=p_2^*\), nous obtenons :

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \lambda_1\\ \lambda_2 \end{bmatrix} = \frac{j}{2\Im m(p_1)} \begin{bmatrix}p_1^* & -1 \\ -p_1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} s(0^+)-s_p(0^+)\\ \dot{s}(0^+)-\dot{s}_p(0^+) \end{bmatrix}\end{split}\]

En utilisant le fait que \(\textbf{x} \in \mathbb{R}^2\), il est alors possible d’établir que \(\lambda_2 = \lambda_1^*\)