Equation de récurrence#

Objectif#

Dans ce tutorial, nous montrons comment obtenir l’équation de récurrence d’un système à temps discret décrit par une fonction de transfert \(F(z)\). Pour illustrer ce tutoriel, nous allons considérer la fonction de transfert suivante :

\[F(z) = \frac{S(z)}{E(z)} = \frac{2}{4z + 1}\]

Méthodologie#

Pour obtenir l’équation de récurrence, nous allons précéder en deux temps

  1. Obtention d’une équation impliquant la transformée en Z de la sortie, \(S(z)\), et la transformée en Z de l’entrée, \(E(z)\).

  2. Ecriture de l’équation en puissances de z négatives.

  3. Passage à la transformée en Z inverse.

Transformée en Z#

En utilisant l’expression de \(F(z)\), nous obtenons :

\[\begin{split}S(z) (4z + 1) &= 2 E(z)\\ 4zS(z) + S(z) &= 2 E(z)\end{split}\]

Puissances de z négatives#

Pour obtenir une écriture en puissance de z négatives, nous allons multiplier les deux parties de l’égalité par \(z^{-1}\).

\[4S(z) + z^{-1}S(z) = 2 z^{-1}E(z)\]

Transformée en Z inverse#

En utilisant la propriété de linéarité et du retard, nous obtenons :

\[4s[n] + s[n-1] = 2 e[n-1]\]

Finalement, l’équation de récurrence est donnée par :

\[s[n] = 0.5 e[n-1] - 0.25s[n-1]\]

Vérification#

Pour vérifier notre équation, nous allons déterminer les premiers échantillons de sortie lorsque l’entrée est un échelon unitaire (\(e[n]=u[n]\)). Ces échantillons en sortie seront comparés avec ceux obtenus en utilisant Python.

Lorsque l’entrée est un échelon unitaire, les premiers échantillons sont donnés par :

\[\begin{split}s[0] &= 0.5 e[-1] - 0.25 s[-1] = 0 - 0 = 0\\ s[1] &= 0.5 e[0] - 0.25s[0] = 0.5 - 0 = 0.5\\ s[2] &= 0.5 e[1] - 0.25s[1] = 0.5 - 0.25 \times 0.5 = 0.375\end{split}\]

En utilisant Python, nous obtenons la réponse indicielle suivante.

from control import tf, step_response
import matplotlib.pyplot as plt

Te = 1
Fz = tf([2], [4, 1], Te)
T, yout = step_response(Fz)

plt.step(T, yout, where="post")
plt.xlabel("Temps [s]")
plt.ylabel("Reponse Indicielle")
plt.grid()
plt.tight_layout()
../_images/eq_recu-1.png

Nous pouvons constater que les deux réponses correspondent bien.